相空间，刘维尔定理与微正则系综
经典理论下的相空间
在任意时刻 $t$, 一个给定的经典系统的微观态, 可以通过规定 组成该系统的所有粒子的瞬时位置和动量来确定. 因而, 倘若该 系统的粒子数为 $N$, 要确定系统的微观态, 就需要确定 $3 N$ 个位置 坐标 $q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{3 N}$ 和 $3 N$ 个动量坐标 $p_{1}, p_{2}, \cdots, p_{3 N .}$ 从几何意义上 说, 我们可以将表示该系统的一个具体的微观态的坐标集合 $\left(q_{t},\right.$, $p_{i}$ ) (其中 $i=1,2, \cdots, 3 N$ ) 在 $6 N$ 维空间中看成为一个点. 我们称这个空间为相空间
按照哈密顿力学 \(\dot{q}_{i}=\frac{\partial H\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial p_{i}} \\\)
\[\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial q_{i}}\]系统的变化表示为相空间中点的变化，其随时间的变化可以看做一条轨迹。变化趋势由$v(\dot{p_i},\dot{q_i})$速度矢量决定。
考虑一个系综（即给定系统及其大量思维复本的集合）则可以期望系综的各个成员在任意时刻t该是处在所有可能的微观态中, 确实，微观态中的任一个都必须同给定的宏观态相一致，相应的图象将由一群代表点所组成（每一点各代表系综的一个成员）。 所有点均位于允许空间内。
密度函数 “ $\rho(q, p ; t)$ , 即在 任意时刻 $t$, 在相空间内点 $(q, p)$ 周围的 “体积元” $d^{3 N} q d^{3 N} p$ 中, 代 表点的数目是由乘积 $\rho(q, p ; t) d^{3 N} q d^{3 N} p$ 来确定的 .
物理量$f(q,p)$的平均值为
\(\langle f\rangle=\frac{\int f(q, p) \rho(q, p ; t) d^{3 N} q d^{3 N} p}{\int \rho(q, p ; t) d^{3 N} q d^{3 N} p}\)
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}=0\]任何物理量 $f$ 的系综平均值, 与人们在该给定系统上进行适当测量所得到的期望值是相等的. 对于平衡态系统，$\rho$不显含$t$,即
则$\left<f\right>$不随时间变化
刘维尔定理
\[\frac{d \rho}{d t} \equiv \frac{\partial \rho}{\partial t}+[\rho, H]=0\] \[[\rho, H]=\sum_{i=1}^{3 N}\left(\frac{\partial \rho}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \rho}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}\right)\]证：系宗没有成员的进出，则相空间中没有汇和源。根据连续性方程
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\operatorname{div}(\rho \boldsymbol{v})=0\] \[div = \sum\left(\boldsymbol{\hat{ p}}_i\frac{\partial}{\partial p_i}+\boldsymbol{\hat{ q}}_i\frac{\partial}{\partial q_i}\right)\] \[\boldsymbol{v}=\sum\left(\dot{p}_i\boldsymbol{\hat{ p}}_i+\dot{q}_i\boldsymbol{\hat{ q}}_i\right)\] \[\boldsymbol{\hat{ p}}_i\cdot\boldsymbol{\hat{ p}}_j=\delta_{ij}\qquad \boldsymbol{\hat{ q}}_i\cdot\boldsymbol{\hat{ q}}_j=\delta_{ij}\qquad \boldsymbol{\hat{ p}}_i\cdot\boldsymbol{\hat{ q}}_j=0\]即所有$(i,j),(p,q)$交叉项为0。则有
\[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\sum_{i=1}^{3 N}\left(\frac{\partial \rho}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}\right)+\rho \sum_{i=1}^{3 N}\left(\frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \dot{p}_{i}}{\partial p_{i}}\right)=0\] \[\frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial q_{i}}=\frac{\partial^{2} H\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial q_{i} \partial p_{i}} \equiv \frac{\partial^{2} H\left(q_{i}, p_{i}\right)}{\partial p_{i} \partial q_{i}}=-\frac{\partial \dot{p}_{i}}{\partial p_{i}}\]上式第三项为0.再有正则方程可证明。
代表点在相空间内的运动跟不可压缩流体在物理空间中的运动方式是一样的
微正则系综
在平衡态中，有
\[[\rho, H]=\sum_{i=1}^{3 N}\left(\frac{\partial \rho}{\partial q_{i}} \dot{q}_{i}+\frac{\partial \rho}{\partial p_{i}} \dot{p}_{i}\right)=0\]若$\rho$不显含$p,q$，则
\[\rho = const\] \[\langle f\rangle=\frac{1}{\omega} \int_{\omega} f(q, p) d \omega\]则相点在相空间内均匀分布。系宗处于每个相点（即微观态）的几率相同，即满足等先验可几公设。 这样的系宗即微正则系综。
我们不关心某个特定能量，而是一个能量范围。在下面的超壳体内
\[\left(E-\frac{1}{2} \Delta\right) \leqslant H(q, p) \leqslant\left(E+\frac{1}{2} \Delta\right)\]相空间体积
\[\omega=\int^{\prime} d \omega \equiv \int^{\prime}\left(d^{3 N} q d^{3 N} p\right)\]其密度泛函在该超壳体内为常数，在此外为0。
若等效于一个微观态的体积元为$\omega_0$,则在渐近意义上有：
\[\Gamma=\frac{\omega}{\omega_{0}}\] \[S(N, V, E)=k \ln \Gamma=k \ln \left(\frac{\omega}{\omega_{0}}\right)\]从量子态的观点来看
\[\omega_{0}=(h)^{3 \mathrm{~N}}\]考虑粒子的不可分辨性，其需乘上$N!$
本文由 joe_zhouman 创作，采用 知识共享署名4.0
国际许可协议进行许可
本站文章除注明转载/出处外，均为本站原创或翻译，转载前请务必署名
最后编辑时间为:2021-12-05 00:17:46