一维定态薛定谔方程解的一些性质
束缚态与游离态
- 归一化条件
$\int_R\psi^*\psi dV < +\infty$
- 推论 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\psi(x)=0$
- 束缚态 可归一化
- 游离态 不可归一化
一维定态方程的解
$\psi_1$,$\psi_2$ 为能量本征值为$E$的解,则$\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}=C$
$\psi_{1}^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-V(x)] \psi_{1}=0$ $\psi_{2}^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-V(x)] \psi_{2}=0$ $\psi_{1} \psi_{2}^{\prime \prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime \prime}=0$ $\left(\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}\right)^{\prime}=0$ 积分后可得上式。
一维方程最多二重简并
一维方程,每个能级最多有两个简并态。
$\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}=C_{1}$ $\psi_{1} \psi_{3}^{\prime}-\psi_{3} \psi_{1}^{\prime}=C_{2}$ $\psi_{1}\left(C_{2} \psi_{2}^{\prime}-C_{1} \psi_{3}^{\prime}\right)-\left(C_{2} \psi_{2}-C_{1} \psi_{3}\right) \psi_{1}^{\prime}=0$ $\varphi=C_{2} \psi_{2}-C_{1} \psi_{3}$ $\psi_{1} \varphi^{\prime}-\varphi \psi_{1}^{\prime}=0$ $\psi_{1}^{2}\left(\frac{\varphi}{\psi_{1}}\right)^{\prime}=0, \quad$ 或 $\quad \varphi^{2}\left(\frac{\psi_{1}}{\varphi}\right)^{\prime}=0$ $\left(\frac{\varphi}{\psi_{1}}\right)^{\prime}=0, \quad \varphi=C \psi_{1}$ $C \psi_{1}=C_{2} \psi_{2}-C_{3} \psi_{3}$
一维规则势场束缚态无简并
对束缚态 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\psi_{1}\psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime})=0$ 由上一部分的结论,在全空间,有$\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}=\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}$ 在$\psi_1$,$\psi_2$ 不为0的区域,有
\[\frac{\psi_{1}^{\prime}}{\psi_{1}}=\frac{\psi_{2}^{\prime}}{\psi_{2}}\] \[\psi_{1}(x)=C \psi_{2}(x)\]波函数的连续性
\[\frac{2 m}{\hbar^{2}} \int_{x_{0}-\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon}[V(x)-E] \psi(x) \mathrm{d} x =\int_{x_{0}-\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon} \psi^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x =\psi^{\prime}\left(x_{0}+\varepsilon\right)-\psi^{\prime}\left(x_{0}-\varepsilon\right)\] \[\int_{x_{0}-\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon} \psi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\psi\left(x_{0}+\varepsilon\right)-\psi\left(x_{0}-\varepsilon\right)\]$|V(x)|\lt\infty$,则$\psi(x)$,$\psi^{\prime}(x)$连续; $V(x)\rightarrow\infty$,$\psi(x)\rightarrow 0$,$\psi^\prime(x)$可能不连续; $V(x)\rightarrow-\infty$,可能有$\psi(x)\rightarrow \infty$,$\psi^\prime(x)$可能不连续;
波函数的宇称
若$V(x)$为偶宇称,则每个波函数都有明确的宇称性。
束缚态的波函数的正交性
\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}(x) \psi_{m}(x) \mathrm{d} x=C\delta_{nm}\] \[\psi_{1}^{\prime \prime}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[V(x)-E_{1}\right] \psi_{1}\] \[\psi_{2}^{\prime \prime}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[V(x)-E_{2}\right] \psi_{2}\] \[\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{2}-E_{1}\right) \psi_{1} \psi_{2}=\psi_{2} \psi_{1}^{\prime \prime}-\psi_{1} \psi_{2}^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}-\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}\right)\] \[\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{2}-E_{1}\right) \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{1} \psi_{2} \mathrm{~d} x \mathrm{d} x =\left.\left(\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}-\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}\right)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=0\]$V(x)$无奇点,则不同能级的本征函数相互正交
束缚态波函数的奇点
束缚态基态波函数在有限处无奇点
证明见希尔伯特的数学物理方法第一卷第六章
束缚态基态波函数无简并(与之前的相关结论比较,这里对势场没有要求)
若有简并,$\psi_1$,$\psi_2$,则$c_1 \psi_{1}+c_2 \psi_{2}$也是一个本征函数。可以通过改变常数项使其等于0。 故而假设不成立。
推论:束缚态非基态波函数有根
若$\psi_n=0$无根,由上面的结论,
\[\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n} \psi_{0}=0\]$\psi_0>0 or \psi_0<0$ 恒成立,则基态波函数$\psi_0\equiv 0$显然不可能。推论得证。
推论:束缚态非基态波函数无一阶以上的奇点
若$\psi_n=0$有两级以上的零点,设其为$a$,即$\psi_n(a)=0$,$\psi_n^{\prime}(a)=0$,不妨取一点b,在$(a,b)$ 上有$\psi_n>0 or \psi_n<0$。对该区间积分
\[\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{n}-E_{0}\right) \int_{a}^{b} \psi_{n} \psi_{0} \mathrm{~d} x =\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\psi_{0} \psi_{n}^{\prime}-\psi_{0} \psi_{n}^{\prime}\right) \mathrm{d} x =\left.\left(\psi_{n} \psi_{0}^{\prime}-\psi_{0} \psi_{n}^{\prime}\right)\right|_{a} ^{b}=0\]同之前的证明由这一假设不成立。故推论得证。
第n+1个能级的波函数有n个奇点
证明见希尔伯特的数学物理方法第一卷第六章
本文由 joe_zhouman 创作,采用 知识共享署名4.0
国际许可协议进行许可
本站文章除注明转载/出处外,均为本站原创或翻译,转载前请务必署名
最后编辑时间为:2021-11-20 13:17:58