一维定态薛定谔方程波函数的性质

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一维定态薛定谔方程波函数的性质

一维定态薛定谔方程解的一些性质

束缚态与游离态

一维定态方程的解

$\psi_1$,$\psi_2$ 为能量本征值为$E$的解,则$\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}=C$

$\psi_{1}^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-V(x)] \psi_{1}=0$ $\psi_{2}^{\prime \prime}+\frac{2 m}{\hbar^{2}}[E-V(x)] \psi_{2}=0$ $\psi_{1} \psi_{2}^{\prime \prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime \prime}=0$ $\left(\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}\right)^{\prime}=0$ 积分后可得上式。

一维方程最多二重简并

一维方程,每个能级最多有两个简并态。

$\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}=C_{1}$ $\psi_{1} \psi_{3}^{\prime}-\psi_{3} \psi_{1}^{\prime}=C_{2}$ $\psi_{1}\left(C_{2} \psi_{2}^{\prime}-C_{1} \psi_{3}^{\prime}\right)-\left(C_{2} \psi_{2}-C_{1} \psi_{3}\right) \psi_{1}^{\prime}=0$ $\varphi=C_{2} \psi_{2}-C_{1} \psi_{3}$ $\psi_{1} \varphi^{\prime}-\varphi \psi_{1}^{\prime}=0$ $\psi_{1}^{2}\left(\frac{\varphi}{\psi_{1}}\right)^{\prime}=0, \quad$ 或 $\quad \varphi^{2}\left(\frac{\psi_{1}}{\varphi}\right)^{\prime}=0$ $\left(\frac{\varphi}{\psi_{1}}\right)^{\prime}=0, \quad \varphi=C \psi_{1}$ $C \psi_{1}=C_{2} \psi_{2}-C_{3} \psi_{3}$

一维规则势场束缚态无简并

对束缚态 $\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(\psi_{1}\psi_{2}^{\prime}-\psi_{2} \psi_{1}^{\prime})=0$ 由上一部分的结论,在全空间,有$\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}=\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}$ 在$\psi_1$,$\psi_2$ 不为0的区域,有

\[\frac{\psi_{1}^{\prime}}{\psi_{1}}=\frac{\psi_{2}^{\prime}}{\psi_{2}}\] \[\psi_{1}(x)=C \psi_{2}(x)\]

波函数的连续性

$|V(x)|\lt\infty$,则$\psi(x)$,$\psi^{\prime}(x)$连续; $V(x)\rightarrow\infty$,$\psi(x)\rightarrow 0$,$\psi^\prime(x)$可能不连续; $V(x)\rightarrow-\infty$,可能有$\psi(x)\rightarrow \infty$,$\psi^\prime(x)$可能不连续;

\[\frac{2 m}{\hbar^{2}} \int_{x_{0}-\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon}[V(x)-E] \psi(x) \mathrm{d} x =\int_{x_{0}-\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon} \psi^{\prime \prime}(x) \mathrm{d} x =\psi^{\prime}\left(x_{0}+\varepsilon\right)-\psi^{\prime}\left(x_{0}-\varepsilon\right)\] \[\int_{x_{0}-\varepsilon}^{x_{0}+\varepsilon} \psi^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\psi\left(x_{0}+\varepsilon\right)-\psi\left(x_{0}-\varepsilon\right)\]

波函数的宇称

若$V(x)$为偶宇称,则每个波函数都有明确的宇称性。

束缚态的波函数的正交性

$V(x)$无奇点,则不同能级的本征函数相互正交

\[\int_{-\infty}^{\infty} \psi_{n}(x) \psi_{m}(x) \mathrm{d} x=C\delta_{nm}\] \[\psi_{1}^{\prime \prime}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[V(x)-E_{1}\right] \psi_{1}\] \[\psi_{2}^{\prime \prime}=\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left[V(x)-E_{2}\right] \psi_{2}\] \[\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{2}-E_{1}\right) \psi_{1} \psi_{2}=\psi_{2} \psi_{1}^{\prime \prime}-\psi_{1} \psi_{2}^{\prime \prime}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}-\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}\right)\] \[\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{2}-E_{1}\right) \int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{1} \psi_{2} \mathrm{~d} x \mathrm{d} x =\left.\left(\psi_{2} \psi_{1}^{\prime}-\psi_{1} \psi_{2}^{\prime}\right)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=0\]

束缚态波函数的奇点

束缚态基态波函数在有限处无奇点

证明见希尔伯特的数学物理方法第一卷第六章

束缚态基态波函数无简并(与之前的相关结论比较,这里对势场没有要求)

若有简并,$\psi_1$,$\psi_2$,则$c_1 \psi_{1}+c_2 \psi_{2}$也是一个本征函数。可以通过改变常数项使其等于0。 故而假设不成立。

推论:束缚态非基态波函数有根

若$\psi_n=0$无根,由上面的结论,

\[\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{n} \psi_{0}=0\]

$\psi_0>0 or \psi_0<0$ 恒成立,则基态波函数$\psi_0\equiv 0$显然不可能。推论得证。

推论:束缚态非基态波函数无一阶以上的奇点

若$\psi_n=0$有两级以上的零点,设其为$a$,即$\psi_n(a)=0$,$\psi_n^{\prime}(a)=0$,不妨取一点b,在$(a,b)$ 上有$\psi_n>0 or \psi_n<0$。对该区间积分

\[\frac{2 m}{\hbar^{2}}\left(E_{n}-E_{0}\right) \int_{a}^{b} \psi_{n} \psi_{0} \mathrm{~d} x =\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\psi_{0} \psi_{n}^{\prime}-\psi_{0} \psi_{n}^{\prime}\right) \mathrm{d} x =\left.\left(\psi_{n} \psi_{0}^{\prime}-\psi_{0} \psi_{n}^{\prime}\right)\right|_{a} ^{b}=0\]

同之前的证明由这一假设不成立。故推论得证。

第n+1个能级的波函数有n个奇点

证明见希尔伯特的数学物理方法第一卷第六章