泛函分析距离空间的一些定理汇总
不等式
距离空间中的收敛
\(\forall \epsilon>0,\exists N>0\), 当 \(n>N \Rightarrow \rho(x_n,x_0)<\epsilon\)
- \(\{x_n\}\) 收敛 \(\Rightarrow\)
- \(\{x_n\}\)极限唯一
- \(\forall y_0 \in X, {\rho(x_0,y_0)}\) 有界
- \(\{x_n\}\) 是X中的收敛点列，则 \(\{x_n\}\rightarrow x_0\Leftrightarrow \forall \{x_{k_n}\}\subset\{x_n\},\{x_{k_n}\}\rightarrow x_0\)
距离空间上的点集
\(A为开集\Leftrightarrow A=A^o\) \(A为闭集\Leftrightarrow A=\bar{A}\)
- 距离空间X及空集为开集，也为闭集
- 任意个开集的交为开集，有限个闭集的交为闭集
-
有限个开集的并为开集，任意个闭集的并为闭集
- 若\(A,B\subset (X,\rho)\Rightarrow\)
- \(A\subset \bar{A}\)，
- \(\overline{\overline{A}}=\bar{A}\)，
- \(\overline{A\cup B}=\bar{A}\cup \bar{B}\)，
- \(\bar{\emptyset}=\emptyset\)。
- \(A为开集\Leftrightarrow A^c 为闭集\)，
- \(A为闭集\Leftrightarrow A^c 为开集\)。
稠密与可分
B在A中稠密 \(\Leftrightarrow\)， \(A,B\subset X, A\subset \bar{B} \Leftrightarrow\)， \(\forall x\in A,\forall \epsilon > 0,\exists y\in B,\rho(x,y),\epsilon \Leftrightarrow\)， \(\forall \epsilon > 0, \bigcup_{x_0\in B}S(x_0,\epsilon)\supset A\Leftrightarrow\)， \(\forall x\in A,\exists\{x_n\}\subset B,\{x_n\}\rightarrow x\)。
X存在可列稠子集\(\Leftrightarrow\)X可分
连续映射
\(T在x_0连续\Leftrightarrow\)， \(x_0\in X, \forall \epsilon>0,\exists \delta >0,\rho(x,x_0)<\delta \Rightarrow \rho_1(Tx,Tx_0)<\epsilon\), \(\Leftrightarrow\forall \{x_n\}\in X \&\{x_n\}\rightarrow x_0 \Rightarrow \{Tx_n\}\rightarrow Tx_0\)。
-
\(T:X\rightarrow Y连续 \Leftrightarrow\) \(G\subset Y,T^{-1}(G)\subset X\) \(G为开集\Rightarrow T^{-1}(G) 为开集\) \(G为闭集\Rightarrow T^{-1}(G) 为闭集\)
-
\(B = A^c\Leftrightarrow T^{-1}(B)=(T^{-1}(A))^c\)。
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最后编辑时间为:2021-10-09 20:30:08