常用的距离空间及其距离
距离空间定义
\(X\ne \emptyset, \forall x,y \in X,\exists \rho (x,y),\)满足
- 非负性：\(\rho(x,y)\le 0,\rho(x,t)=0 \Leftrightarrow x=y\)
- 对称性: \(\rho(x,y)=\rho(y,x)\)
- 三角不等式:\(\forall z\in X, \rho(x,y)\le \rho(x,z)+\rho(z,y)\) 则X为距离空间，\(\rho\)为X的一个距离，记作\((X,\rho)\)
常用距离空间
n维欧式空间\(R^n(C^n)\)
定义
\(R^n=\{x|x=(\xi_1,...,\xi_n),\xi_i\in R,i=1,...,n\}\)
距离
\(\rho(x,y)=\left(\sum\limits_{k=1}^n|\xi_k-\eta_k|^2\right)^{1/2}\) \(\rho(x,y)=\max\limits_{1\le k\le n}|\xi_k-\eta_k|\)
证明
\(\sum\limits_{k=1}^n(a_k+b_k)^2=\sum\limits_{k=1}^na_k^2+2\sum\limits_{k=1}^n a_kb_k+\sum\limits_{k=1}^nb_k^2\)
\[\qquad\qquad\qquad\le\sum\limits_{k=1}^na_k^2+2(\sum\limits_{k=1}^na_k^2 +\sum\limits_{k=1}^n b_k^2)^{1/2}+\sum\limits_{k=1}^nb_k^2 (柯西不等式)\] \[\qquad\qquad\qquad=\left[\left(\sum\limits_{k=1}^na_k^2\right)^{1/2} +\left(\sum\limits_{k=1}^nb_k^2\right)^{1/2}\right]^2\]\(C[a,b]\)
定义
\(C[a,b]\{x|t\in [a,b],f(t)\in R,f(t)连续\}\)
距离
\(\rho(x,y)=\max\limits_{a\le t\le b}|x(t)-y(t)|\)
\(L^p(F)\)
\(L^\infty(F)\)
定义
距离
\(l^p(F)\)
\(l^\infty(F)\)
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最后编辑时间为:2021-09-25 08:45:38